2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012

^ 2.7. Прямой синтез ЦФ

Прямой синтез ЦФ сводится к нахождению функции, аппроксимирующей заданную частотную характеристику так, что бы в итоге аппроксимации вышло дробно-рациональное выражение для H(e jωT) (производим подмену оператора p на функции 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 sin(ωT), cos(ωT), tg(ωT/2), ctg(ωT/2), которые потом преобразуем в e ±jωT) [2].

Для перехода от H(e jωT) к системной функции H(z) нужно в выражении 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 для КЧХ e jωT поменять на z. Чтоб выражение для системной функции вышло дробно-рациональным, нужно, чтоб начальное выражение было также дробно-рациональным относительно e jωT. Поиск подходящей аппроксимации 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 для КЧХ является главной трудностью способа прямого синтеза ЦФ.

Обычно задачку аппроксимации решают, подбирая для K(jω) дробно-рациональное выражение относительно тригонометрических функций от ωТ. Любая из тригонометрических функций может быть представлена в виде композиции 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 всеохватывающих экспонент e jωT и e –jωT, в итоге чего можно получить выражение для частотной свойства K(jω) в требуемой форме. Делая подмену e jωT на 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 z, исполняем переход от K(jω) к H(z). Для этого тригонометрические функции представляем в виде:







К примеру, для фильтра нижних частот с частотной среза ωср, частотная черта может быть аппроксимирована выражением



Графики АЧХ 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 такового фильтра близки к АЧХ фильтра Баттерворта, приведенным на рис. 2.22. Тут n = 1, 2, 3, … – порядок фильтра НЧ.

Процедура синтеза ЦФ данным способом сводится к последующему:

  1. По данным чертам находим порядок фильтра n (как и в 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 примере для билинейного преобразования).

  2. Заменяем в выражении для |K(jω)|2 e jωT на z, потом находим выражение для квадрата системной функции |H(z)|2 = H(z)H(z –1).

  3. Находим положение полюсов 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 |H(z)|2, а потом системной функции H(z) (они должны лежать снутри единичной окружности |z| < 1).

  4. Исходя из расположения полюсов, находим выражение для системной функции H(z) и записываем разностное уравнение, на основании которого построим 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 фильтр (его структурную схему).

Более тщательно прямые способы синтеза ЦФ изложены в литературе [2, 5].
^ 2.8. Способы синтеза фильтров с КИХ

До сего времени мы синтезировали ЦФ с нескончаемой импульсной чертой (БИХ). Но вместе с 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 ними обширное распространение получили ЦФ с ИХ конечной продолжительности либо КИХ-фильтры.

Главное достоинство КИХ-фильтров в том, что они всегда устойчивы.

КИХ-фильтры не имеют конкретных аналогов посреди пассивных цепей (т 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012.е. нет фильтров-прототипов), потому способы их синтеза относятся к прямым способам синтеза ЦФ.

Одним из более нередко используемых способов синтеза КИХ-фильтров является способ частотной подборки.
^ 2.8.1. Способ частотной подборки

Мысль 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 этого способа достаточно ординарна. Амплитудно-частотную характеристику аналогового фильтра дискретизируют как повторяющуюся функцию, разбивая интервал на N равных частей (N – нечетное). Интервал дискретизации должно быть таким, что бы передать все 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 особенности АЧХ. К приобретенной последовательности значений K(nΩ) используют оборотное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) и находят импульсную характеристику h(nT). Значения h(nT) являются коэффициентами нерекурсивного фильтра.

Число выборок в АЧХ соответствует 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 числу отсчетов ИХ.

Отысканная ИХ соответствует на физическом уровне нереализуемому фильтру, потому ее сдвигают на право на одну вторую собственной длины (в данном случае к каждому аргументу nT в выражении для ИХ добавится отрицательная 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 величина, равная (N–1)T/2). При таком смещении поменяется ФЧХ, а АЧХ остается постоянной, т.е. можно сказать, что способ частотной подборки позволяет синтезировать фильтры с данной АЧХ при неконтролируемой ФЧХ 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012.

После нахождения ИХ можно записать РУ:

, на основании которого можно выстроить фильтр.

Пример. Пусть требуется синтезировать цифровой фильтр с АЧХ A() по данной АЧХ аналогового фильтра-прототипа , где .

Продискретизируем АЧХ на 5 отсчетов (N 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 = 5) с интервалом дискретизации . Тогда , , (рис. 2.26).



Применяя к оборотное дискретное преобразование Фурье, найдем выражение для импульсной свойства (ИХ):

.

В нашем случае N = 5 (N – число степеней свободы сигнала):

.

Вычислим значение ИХ при n 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 = 0:

;

; .

ИХ:





Для того чтоб фильтр стал на физическом уровне реализуемым, сдвинем отсчеты ИХ на право на величину (N – нечетное). Запишем разностное уравнение:



Таким макаром, мы получим нерекурсивный КИХ-фильтр 4-го порядка (рис. 2.28).

Коэффициенты фильтра 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 ai можно пронормировать к коэффициенту a2 = 0,355. Вид АЧХ фильтра не поменяется при существенном упрощении реализации. Нормированные коэффициенты воспримут значения:

.



Амплитудно-частотная черта синтезированного цифрового фильтра не много отличается от начальной на 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 интервале частот (рис. 2.26). Ошибка составляет менее 4 %. Таковой положительный результат выходит при малом числе отсчетов АЧХ N = 5 благодаря тому, что начальная АЧХ гауссова фильтра имеет плавный вид.
^ 2.8.2. Способ временных окон

Предшествующий способ отлично подходит для 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 фильтров с плавной АЧХ. Для фильтров, имеющих АЧХ с крутыми склонами (огромным затуханием) процедура синтеза значительно усложняется.

Возьмем например ФНЧ с безупречной АЧХ (прямоугольной) и подвергнем ее дискретизации. Получившаяся АЧХ точно пройдет 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 через все отсчетные точки, но в промежутках меж ними будут огромные колебания. Повышение числа отсчетов не помогает – возрастает изрезанность АЧХ, а амплитуда паразитных колебаний не меняется и составляет приблизительно 14 % от размаха АЧХ 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 в точке разрыва (рис. 2.29).

Уровень боковых лепестков в полосе затухания остается также высочайшим. Данный эффект именуется явлением Гиббса. В первый раз данный эффект был исследован в связи с усечением ряда Фурье 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012, используемого для разложения по гармоникам повторяющихся сигналов, в том числе и повторяющейся АЧХ, соответствующей для цифровых фильтров.

Применение способа временных окон позволяет уменьшить либо даже убрать изрезанность АЧХ (т.е. пропадут колебания на 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 ней), но при всем этом склоны приобретенной АЧХ будут более пологими, чем у начальной АЧХ.



Пример. Пусть АЧХ безупречного ФНЧ с частотой среза ωср описывается выражением:



Импульсная черта такового фильтра описывается функцией 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012:



Из данной импульсной свойства можно сделать нескончаемую подборку значений. Интервал дискретизации делают довольно малым, чтоб передать все особенности ИХ. Обычно руководствуются правилом

Усечение продискретизированной ИХ может быть произведено на 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 любом уровне N, но это усечение приводит к сильной изрезанности АЧХ в полосе пропускания и большенному уровню боковых лепестков. Обычно число отсчетов выбирают довольно огромным: N = 21; 51; 101; 201; 501 и т. д.

Для обеспечения физической реализуемости импульсную 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 характеристику сдвигают на одну вторую собственной продолжительности, т.е. . Сдвиг импульсной свойства не изменяет вида АЧХ, изменяется только фазочастотная черта. На рис. 2.30а усеченная и сдвинутая ИХ показана при N = 81.

Для уменьшения 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 изрезанности АЧХ отсчеты ИХ множат на отсчеты некой весовой функции w(nT) (рис. 2.30б), именуемой временным окном. Временное окно обычно симметричная функция, медлительно спадающая к краям. Центральный отсчет временного окна нормируют к 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 единице. В итоге получаем модифицированную ИХ вида h(nT)w(nT) (рис. 2.30в).

При использовании временного окна значительно миниатюризируется изрезанность АЧХ и уровень боковых лепестков синтезированного по способу частотной подборки ЦФ 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012, но платой за это будет более пологий склон АЧХ синтезированного таким макаром цифрового фильтра (рис. 2.30д).



Временное окно представляет собой функцию определенного вида.

Разглядим главные применяемые временные окна:

  1. Окно Дирихле (прямоугольное 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 окно):

. Используют для ограничения продолжительности ИХ.

  1. Окно Хемминга:

.

Имеет низкий уровень боковых лепестков -53,6 дб. Частотная черта близка к прямоугольной.

  1. Окно Бартлетта (треугольное окно):

.

  1. Окно Ханна:

.

  1. Окно Блэкмана:

.

  1. Окно Кайзера (обобщенное временное окно):

,

Окно 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 Кайзера более близкое к хорошему.

Тут ^ I0[·] – измененная функция Бесселя нулевого порядка, параметр ωa используют для опции окна Кайзера. При уменьшении ωa миниатюризируется уровень боковых лепестков АЧХ и пульсаций в полосе пропускания 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012, но также миниатюризируется и крутизна склонов АЧХ. При увеличении этого параметра можно достигнуть формы АЧХ близкой к прямоугольной (безупречной) при допустимом уровне боковых лепестков и пульсаций в полосе пропускания. Обычные значения лежат в границах 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 от 4 до 9. Измененную функцию Бесселя нулевого порядка рассчитывают как сумму ряда, ограничиваясь 20 членами ряда [5]: .

Примеры неких окон приведены на рис. 2.31.



В текущее время употребляется более 50 видов временных окон.

Метод синтеза по способу 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 временных окон:

  1. Задаемся требуемой АЧХ – ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ.

  2. Дискретизируем АЧХ на N частей на интервале частот .

  3. К приобретенным отсчетам АЧХ применяем оборотное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) и получаем отсчеты ИХ 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 .

  4. Сдвигаем отсчеты ИХ на право на величину для заслуги физической реализуемости ЦФ.

  5. Используя одно из временных окон, получаем отсчеты ИХ .

  6. Значения отсчетов ИХ принимаем за коэффициенты НРЦФ: , где .

  7. Записываем выражение для системной 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 функции: .

  8. Контролируем АЧХ ЦФ: .

  9. Программируем ЦФ, или реализуем его аппаратным методом.

Дальше, на листинге, приведен пример программной реализации цифрового фильтра нижних частот при помощи пакета MathCAD.

^ Пример программирования цифрового фильтра с внедрением окна 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 Хэмминга

в системе MCAD 6.0 (листинг программки)

Требуется синтезировать ЦФ нижних частот (за базу взят ПФ с fl = 0 кГц):

fl = 0 кГц, f2 = 3 кГц, fд = 10 кГц, N = 81

________________________________________________________________________





1. Дискретизируем частотную характеристику ПФ :









2. Получаем при помощи 2.7. Прямой синтез ЦФ - Пособие предназначено для студентов специальностей радиотехнического профиля. © Курячий М. И., 2012 ОДПФ ИХ цифрового на физическом уровне нереализуемого фильтра:





3. Делаем фильтр на физическом уровне реализуемым [сдвигаем ИХ на 0.5*(N-1)]:



4. Определяем окно Хэмминга:



5. Находим коэффициенты нерекурсивного фильтра:





6. Записываем выражение для системной функции:












27-monitoring-effektivnosti-vzaimodejstviya-subektov-gosudarstvennoj-i-korporativnoj-sistem-podgotovki-rabochih-kadrov.html
27-nalichie-strukturnih-podrazdelenij-logopunkt-td-osnovnaya-obsheobrazovatelnaya-programma-municipalnogo.html
27-noyabrya-2012-goda-v-14-chasov-00-minut-po-moskovskomu-vremeni-po-adresu-yaroslavskaya-oblast-g-ribinsk-krestovaya-ul-d-77-kab-1.html